DERET HITUNG DAN DERET AKAR
DERET HITUNG DAN DERET AKAR
Deret hitung
Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang memdedakan suku-suku dari deret hitung ini adalah pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua sukunyang berurutan.
Contoh:
7, 12, 17, 22, 27, 32 pembeda >5
93, 83, 73, 63,53 43 pembeda>-10
Suku ke-n dari deret hitung
Nilai suku pertama nya (a) adalah 7 dan pembedanya (b) adalah 5.
7, 12, 17, 22, 27, 32
S1 S2 S3 S4 S5 S6
S1 = 7 = a
S2 = 12 = a + b = a + (2 – 1)b
S3 = 17 = a + 2b = a + (3 – 1)b a ; suku pertama/ S1
S4 = 22 = a + 3b = a + (4 – 1)b b; pembeda
S5 = 27 = a + 4b = a + (5 – 1)b c; indeks suku
S6 = 32 = a + 5b = a + (6 – 1)b
Sebagai contoh nilaisuku ke-10 dan ke-23 dari deret hitung ini masing-masing ini adalah:
S10 = a + (n – 1)b = 7 + (10 – 1)5 + 7 + 45 = 52 dan seterusnya....
Jumlah n suku
Adalah nilai suku-sukunya , sejak suku pertama (S1, atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yag bersangkutan.
Jn = = S1 + S2+ .......+ Sn
Berdasarkan rumus S n = a + (n-1)b sebelumnya, maka masing-masing S dapat diuraikan. Dengan menguraikan setiap S, maka J 4 dalam ilustrasi diatas akan menjadi sebagai berikut :
J 4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b)
= 4a + 6b
Dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagi berikut :
J 4 = 4a + 6b = 4a + (4 – 1)b
maka didapat = na + (n-1)b dan = {2a + (n – 1)b}
Atau juga dapat d tuliskan
Rumus J n = { 2a + (n – 1)b} masih bisa disederhanakan lagi menjadi seperti berikut :
J n = { 2a + (n – 1)b}
= { a + a + (n – 1)b}
= ( a + S n )
Untuk kasus deret hitung dalam cotoh 1 diatas tadi, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah:
J 10 = ( 7 + S 10 ) = 5 ( 7 + 52 ) = 295.
Sedangkan untuk kasus deret hitung dalam cotoh 2, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah:
J 10 = (10)(93) + (10 – 1)(-10) = 930 + 5(9)(-10) = 480
Dengan demikian untuk menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan:
Jn = Jn = (2a + (n – 1)b]
Jn = (a + Sn) Jn = na + = (n – 1)b
Deret ukur
Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilaisuatu suku terhadap nilai suku di depannya.
Contoh:
5, 10, 20, 40 (pengganda = 2)
512, 256, 128, 64 (pengganda= 0,5)
Suku ke-n dari DU
Untuk dapat membentuk rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur:
Penjabaran dari:
S 1 = 5 = a
S 2 = 10 = ap = a; suku pertama
S 3 = 20 = app = a = p; pengganda
S 4 = 40 = appp = a = n; indeks
S 5 = 80 = apppp = a =
S 6 = 160= appppp = a =
Berdasarkan rumus diatas, nilai suku ke-10 dari deret ukur dalam adalah:
= (5)(2 = (5)(2 = (5)(512) = 2560
S 10 = (512)(0,5) 10-1 = (512)(0,5) 9 = (512)(1/512) = 1
Jumlah n suku
Jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai sejak suku pertama sampai dengan suku ke- n yang bersangkutan.
Jn = = S1 + S2+ .......+ Sn
Berdasarkan = a , maka masing-masing Si dapat dapat dijadikan sehingga:
Jn= a + ap + a + a + .... + a +a
Jika persamaan (1) ini kita kalikan dengan bilangan pengganda p, maka :
pJ n = ap + a + a + + .... + a + a
Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), diperoleh selisih antara kedua persamaan ini yaitu :
J n - pJn = a - a
J n (1 – p) = a(1 – )
Dari sini, kita dapat membentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:
= atau =
Sebagaimana akan dapat dijumpai dalam bagian atau bab-bab selanjutnya dalam buku ini, prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun tidak langsung. Prisip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbukan.
Deret hitung
Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang memdedakan suku-suku dari deret hitung ini adalah pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua sukunyang berurutan.
Contoh:
7, 12, 17, 22, 27, 32 pembeda >5
93, 83, 73, 63,53 43 pembeda>-10
Suku ke-n dari deret hitung
Nilai suku pertama nya (a) adalah 7 dan pembedanya (b) adalah 5.
7, 12, 17, 22, 27, 32
S1 S2 S3 S4 S5 S6
S1 = 7 = a
S2 = 12 = a + b = a + (2 – 1)b
S3 = 17 = a + 2b = a + (3 – 1)b a ; suku pertama/ S1
S4 = 22 = a + 3b = a + (4 – 1)b b; pembeda
S5 = 27 = a + 4b = a + (5 – 1)b c; indeks suku
S6 = 32 = a + 5b = a + (6 – 1)b
Sebagai contoh nilaisuku ke-10 dan ke-23 dari deret hitung ini masing-masing ini adalah:
S10 = a + (n – 1)b = 7 + (10 – 1)5 + 7 + 45 = 52 dan seterusnya....
Jumlah n suku
Adalah nilai suku-sukunya , sejak suku pertama (S1, atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yag bersangkutan.
Jn = = S1 + S2+ .......+ Sn
Berdasarkan rumus S n = a + (n-1)b sebelumnya, maka masing-masing S dapat diuraikan. Dengan menguraikan setiap S, maka J 4 dalam ilustrasi diatas akan menjadi sebagai berikut :
J 4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b)
= 4a + 6b
Dapat pula ditulis ulang dalam bentuk sebagi berikut :
J 4 = 4a + 6b = 4a + (4 – 1)b
maka didapat = na + (n-1)b dan = {2a + (n – 1)b}
Atau juga dapat d tuliskan
Rumus J n = { 2a + (n – 1)b} masih bisa disederhanakan lagi menjadi seperti berikut :
J n = { 2a + (n – 1)b}
= { a + a + (n – 1)b}
= ( a + S n )
Untuk kasus deret hitung dalam cotoh 1 diatas tadi, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah:
J 10 = ( 7 + S 10 ) = 5 ( 7 + 52 ) = 295.
Sedangkan untuk kasus deret hitung dalam cotoh 2, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah:
J 10 = (10)(93) + (10 – 1)(-10) = 930 + 5(9)(-10) = 480
Dengan demikian untuk menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan:
Jn = Jn = (2a + (n – 1)b]
Jn = (a + Sn) Jn = na + = (n – 1)b
Deret ukur
Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilaisuatu suku terhadap nilai suku di depannya.
Contoh:
5, 10, 20, 40 (pengganda = 2)
512, 256, 128, 64 (pengganda= 0,5)
Suku ke-n dari DU
Untuk dapat membentuk rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur:
Penjabaran dari:
S 1 = 5 = a
S 2 = 10 = ap = a; suku pertama
S 3 = 20 = app = a = p; pengganda
S 4 = 40 = appp = a = n; indeks
S 5 = 80 = apppp = a =
S 6 = 160= appppp = a =
Berdasarkan rumus diatas, nilai suku ke-10 dari deret ukur dalam adalah:
= (5)(2 = (5)(2 = (5)(512) = 2560
S 10 = (512)(0,5) 10-1 = (512)(0,5) 9 = (512)(1/512) = 1
Jumlah n suku
Jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai sejak suku pertama sampai dengan suku ke- n yang bersangkutan.
Jn = = S1 + S2+ .......+ Sn
Berdasarkan = a , maka masing-masing Si dapat dapat dijadikan sehingga:
Jn= a + ap + a + a + .... + a +a
Jika persamaan (1) ini kita kalikan dengan bilangan pengganda p, maka :
pJ n = ap + a + a + + .... + a + a
Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), diperoleh selisih antara kedua persamaan ini yaitu :
J n - pJn = a - a
J n (1 – p) = a(1 – )
Dari sini, kita dapat membentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:
= atau =
Sebagaimana akan dapat dijumpai dalam bagian atau bab-bab selanjutnya dalam buku ini, prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun tidak langsung. Prisip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbukan.
Komentar
Posting Komentar