Himpunan dan jenis fungsi

HIMPUNAN DAN JENIS FUNGSI

Pengertian
Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek. Penyajian sebuah himpunan dapat dituliskan dengan dua cara yaitu dengan daftar dan cara kaidah.
Cara daftar ialah dengan mencantumkan seluruh objek yang menjadi anggota suatu himpunan contoh A = {1,2,3,4,5} yang berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulan positif 1,2,3,4,5. Adapun cara kaidah adalah dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari objek-objek yang menjadi anggota himpunan tersebut contoh A = { x;0<x<6}

Himpunan universal dan Himunan kosong
Himpunan universal dinyatakan dalam notasi U. Himpunan kosong dinyatakan dalam notasi { }.
Andaikan kita memiliki data beberapa himpunan sebagai berikut:
U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}
A = {0,1,2,3,4}
B ={5,6,7,8,9}
C ={0,1,2,3,4}

Kesimpulan yang bisa ditarik adalah
x € U  di mana 0 ≤ x ≤ 9
y € A di mana 0 ≤ y ≤ 0
z € B  di mana 5 ≤ z ≤ 9
y € C  di mana 0 ≤ y ≤ 4

A ς U     B ς U     C ς U
A = C,    A ≠ B    B ≠ C

y ϵ A dan juga y ϵ C, maka A ς C dan C ς A
y ϵ B dan di lain pihak z € C

ϕ ς A,      ϕ ς B,     ϕ ς C,     ϕ ς U
ϕ ς A ς U,     ϕ ς B ς U       ϕ ς C ς U

Gabungan, Irisan , Selisih dan Pelengkap
Gabungan {union} dari himpunan A dan himpunan B, Dituliskan dengan notasi A Ü B, adalah himpunan yang beranggotakan objek milik A atau objek milik B.
Irisan dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A ∩ B, adalah himpunan yang beranggotakan baik objek milik A maupun objek milik B, dengan perkataan lain, beranggotakan objek yang dimiliki oleh A dan B secara bersama.
Dalam hal A ∩ B = ϕ, yakni jika A dan B tidak mempunyai satupun anggota yang dimiliki bersama, maka A dan B dikatakan disjoin.
Selisih dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A-B, adalah himpunan yang beranggotakan objek milik A yang bukan objek milik B.
Pelengkap dari sebuah himpunan A, dituliskan dengan notasi  , adalah himpunan yang beranggotakan objek yang tidak dimiliki oleh A, dengan perkataan lain,  adalah sama dengan selisih antara himpunan universal dengan himpunan A.
Berikut ini disajikan sedikit ilustrasi berkenaan dengan “aturan main” dalam pengoprasian himpunan.
Anggaplah himpunan berikut ini ada:
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
P =  {1,2,3,4,5}
Q =  {4,5,6,7,8}
R =  {6,7,8,9}
Maka:
P Q = {1,2,3,4,5,6,7,8}
P  R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
P ∩ Q = {4,5}
P – Q = {1,2,3}
= {6,7,8,9}

Pengertian fungsi
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantung antara satu variabel dengan variabel lain.
Jenis fungsi
Fungsi konstan
Fungsi linier
Fungsi pangkat
Fungsi pecah
Fungs eksponensial
Fungsi logaritma
Penerapan fungsi
Penerapan dalam management
Analisis impas
Contoh misalkan harga produk yang diterima seorang produsen tunggal berhubungan negatif dan linier dengan volume produk, P = 120-2Q sementara biaya berubah merupakan fungsi linier dari volume produk V=40Q dan biaya tetap sebesar 600. Volume impasnya adalah:
 = P.Q – (600 + 40Q)              = 0
(120 - 20Q)Q – 600 – 40Q  = 0
-2 + 80Q – 600                = 0
 - 40Q + 300                    = 0
(Q – 30) (Q – 10)                 = 0
 = 30 dan = -10

Karena kurva penerimaan tidak linier, maka volume impas yang relevan adalah 10 dan 30. Ini berarti agar diperoleh keuntungan volume produksi harus diantara 10 dan 30.
Analisis persediaan
Contoh sebuah koperasi menghadapi permintaan 1000 unit per tahun. Misalkan carring cost per unitnya adalah Rp750,- dan ordening costper pesanan Rp15.000,-.
Maka volume pesanan ekonomisnya adalah:
Q = 200

Atau selang waktu antara pesanan adalah 72 ((=) hari.
Penerapan dalam keuangan
Bunga berbunga dan pertumbuhan konstan
Contoh uang senilai Rp 1 juta ditabung dengan tingkat bunga 16% setahun. Carilah nilai uang dan tingkat bunga efektif setahun setalah 5 tahun.
Jika bunga dibayarkan setiap sebulan
Jika penggandaan terjadi terus menerus
= Rp 1 juta   r = 16%   t = 5
Selama setahun bunga dibayarkan 12 kali, jadi frekuensi penggandaan, k = 12
= Mo ( 1 +  ) = 1.000.000  = 2.213.807
=  - 1 =  -1 = 17,23%
 = Mo  = 1.000.000  = 2.2225.541
 =  - 1 = 1,11735 – 1 = 17,35%
Penerapan dalam ekonomi
Analisis keseimbangan pasar parsial
Contoh carilah keseimbangan pasar jika fungsi permintaan non linier
Qd =  dan Qs = -90 + P
Pada saat pasar mencapai keseimbangan Qd = Qs
= -90 + P

- 90P – 1000 = 0
(P – 1000)  (P + 10) = 0
= 100     = -10
Analisis perbandingan keseimbangan pasar parsial
Misalkan t =10%, maka keseimbangan pasar yang baru tercapai pada harga 110,09 dan volume transaksi 9,08 yang ditemukan melalui berikut.
 = -90 + (1P – 0,1P) = -90 + 0,9P
0,9 - 90P – 1000 = 0
 =

 =  = 110,09 dan Q = 9,08
 = -10,09 tak relevan

Analisis keseimbangan pasar dua barang
Contoh misalkan fungsi permintaan dan pasokan daging sapi dan ayam adalah:
Qds = 82- 3Ps + Pa    Qda = 92 + 2Ps – 4Pa
Qss = -5 + 15Ps          Qsa = -6   + 32Pa

Apakah hubungan kedua barang dan cari keseimbangan simultannya? Karena hubungan antara permintaan daging sapi (ayam) degan harga daging ayam (sapi) adalah positif, maka sifat hubungannya adalah subtitusi.
Mengikuti formula, harga-harga keseimbangannya adalah :
 =  =  = 5

 =   =  = 5
Melalui subtitusinya akhirnya diperoleh Qs = 70 dan Qa = 90

Analisis keseimbangan pendapatan nasional (sektor riil dan moneter)
Contoh:
Carilah pendapatan nasional dan tingkat bunga ketika sektor riil dan moneter seimbang serentak jika:
C = 89 + 0,6Y,   I = 120 – 150r,  Ms = 275,  Md = 240 + 0,1 Y – 250r

Berdasar formula diatas diperoleh:
  =  =  = 500

Jika nilai ini disubstitusikan ke persamaan LM di dapat:
  =  =  = 0,06 = 6%