Jurnal SP matematika inggris
. Perkenalan
Sonnenschein (1973), Mantel (1974) dan Debreu (1974) membuktikan bahwa fungsi permintaan berlebih agregat dalam ekonomi pertukaran Arrow-Debreu dicirikan pada setiap rangkaian harga yang kompak oleh kontinuitas, homogenitas, dan hukum Walras. Penelitian ini telah diperluas untuk model pasar yang tidak lengkap, dan hasil serupa telah diperoleh oleh Bottazziand Hens (1996), Gottardi dan Hens (1999), Chiappori dan Ekeland (1999, 2000), Gottardi dan Mas-Colell (2000) dan Momi(2003). Dalam makalah ini, karakterisasi fungsi permintaan kelebihan agregat diperoleh, paling banyak, pada satu set harga yang kompak di mana dimensi set anggaran adalah konstan.
Ketika kita membandingkan model Arrow-Debreu dan model pasar yang tidak lengkap, salah satu perbedaan yang paling menonjol adalah bahwa fungsi permintaan (kelebihan) dalam yang terakhir dapat terputus pada harga kritis di mana set anggaran menurun dimensinya. Diskontinuitas ini menyebabkan kesulitan besar dalam menghadapi model pasar yang tidak lengkap. Misalnya, seperti yang ditunjukkan dalam contoh Hart (1975), diskontinuitas ini mencegah keberadaan umum keseimbangan dalam model pasar yang tidak lengkap.
Meskipun himpunan harga-harga yang kritis dapat diabaikan dalam ukurannya dan tuntutan ekses luar biasa pada harga yang persis seperti itu mungkin sedikit diminati, perilaku fungsi permintaan berlebih agregat di sekitar harga-harga semacam itu akan layak dipertimbangkan. Kurangnya karakterisasi permintaan kelebihan agregat di sekitar harga kritis dalam model pasar yang tidak lengkap adalah, jelas, sebuah kelemahan dibandingkan dengan Teorema Sonnenschein-Mantel-Debreu dalam ekonomi Arrow-Debreu.
Tujuan dari makalah ini adalah untuk menyelidiki karakterisasi fungsi permintaan berlebih agregat di sekitar harga kritis. Kami membuktikan bahwa dalam ekonomi dengan pasar aset riil, pada setiap set harga yang kompak di mana penurunan dimensi anggaran yang ditetapkan paling banyak satu dimensi, kontinuitas, homogenitas, dan hukum Walras masih mencirikan fungsi permintaan berlebih agregat kecuali nilai-nilai terputus dengan harga kritis. Kami membuktikan hasilnya dengan memperluas argumen Momi (2003).
Sebagai aplikasi penting dari hasil, kami juga menunjukkan bahwa jika penurunan dimensi dari set anggaran paling banyak bersifat onedimensional pada seluruh harga yang ditetapkan, maka setiap set anggaran yang kompak dapat menjadi serangkaian set ekuilibrium anggaran yang tidak lengkap. ekonomi pasar. Ini sejajar dengan Mas-Colell (1997) yang memperhalus argumen Debreu (1974) dan membuktikan bahwa setiap set harga yang kompak bisa menjadi set harga ekuilibrium ekonomi Arrow – Debreu.
Jelas, kekurangan pendekatan kami adalah bahwa itu tidak dapat diterapkan ketika set anggaran menurunkan dimensinya lebih dari dua dimensi. Apakah kita dapat mengkarakterisasi fungsi permintaan berlebih agregat di sekitar harga kritis tersebut merupakan pertanyaan terbuka yang menarik di luar jangkauan kita. Memeriksa mengapa pendekatan kami tidak dapat diterapkan dalam kasus ini mungkin memberikan petunjuk untuk menangani masalah ini.
Bagian 2 menjelaskan model, yang merupakan model ekuilibrium umum standar dengan pasar aset riil yang tidak lengkap. Bagian 3 membahas kesulitan dalam menangani fungsi permintaan berlebih di sekitar harga-harga penting. Bagian 4 mengulas properti dari fungsi permintaan berlebih agregat dalam ekonomi pasar yang tidak lengkap yang dihuni oleh konsumen dengan preferensi standar pesanan. Bagian 5 menunjukkan hasil kami: karakterisasi fungsi permintaan berlebih agregat dan anggaran ekuilibrium mengatur karakterisasi. Bukti hasil disediakan dalam Bagian 6.
Modelnya
Kami mempertimbangkan pertukaran ekonomi dua periode standar dengan pasar aset riil yang tidak lengkap. Ada negara-negara S mungkin pada periode kedua dan N barang di setiap negara bagian, sehingga RM, di mana M = (S + 1) N dengan periode pertama sebagai negara 0, mewakili ruang total komoditas. Ada J (≤ S) aset riil Vj, j = 1,. . . , J, masing-masing menjanjikan pengiriman satu bundle komoditas VJs = (Vjs1,. . . , Vj sN) jika keadaan s ∈ {1,. . . , S} terjadi pada periode kedua. Set anggaran, yang kelebihan permintaan vektor z = (z0,..., zS) ∈ RM harus memuaskan.
Konvergensi anggaran ditetapkan di sekitar harga kritis
Pada bagian ini, kami membahas kesulitan dalam menangani fungsi permintaan berlebih di sekitar harga-harga penting. Biarkan dua urutan harga yang bagus {} dan {} konvergen ke harga bagus p ∈_g: {} → p dan {} → p sebagai n → ∞. Kemudian, set anggaran yang sesuai L {} dan L dengan jelas menyatu dengan set anggaran L (). Yaitu, fungsi p → L ). kontinu dengan harga bagus. Jika (). Dan (). berada di lingkungan dengan harga yang bagus, maka L (). dan L (). berada di lingkungan L(). . Kemudian, pendekatan Bottazzi dan Hens (1996) atau Chiappori dan Ekeland (1999) dapat diterapkan untuk mencapai local karakterisasi fungsi permintaan berlebih di sekitar harga bagus p.
Namun, situasinya sangat berbeda ketika{} dan{} konvergen ke harga yang buruk ¯p ∈_b.Bila mereka bertemu dengan yang buruk harga, harga, tentu saja, bertemu satu sama lain. Namun, set anggaran yang sesuai tidak bertemu satu sama lain.
Oleh karena itu, masalahnya bukan "lokal". Pada bagian ini, kami mengamati ini menggunakan contoh sederhana. Lihat Lampiran A untuk umum argumen. Kami mempertimbangkan contoh paling sederhana dengan tiga negara masa depan (S = 3), dua aset (J = 2) dengan hasil positif, dan dua komoditas (N = 2).
Properti dari fungsi permintaan berlebih
Pada bagian ini, kita daftar properti dari fungsi permintaan berlebih agregat p → z (p) ≡ _izi (p) ketika semua konsumen memaksimalkan utilitas mereka tunduk pada perdagangan bersih mereka di L (p). Ini terbukti dari definisi yang agregat berlebih fungsi permintaan memenuhi hukum Walra, homogenitas, dan batasan dari bawah:
(W) Hukum Walras: z (p) ∈ L (p),
(H) Homogenitas: z (p) = z (p_) jika L (p) = L (p_),
(BB) Boundedness dari bawah: ada ˛∈ R sehingga z (p)> ˛1
di mana 1 = (1,...., 1) ∈ RM.
Berkenaan dengan kontinuitas, diketahui bahwa z kontinu pada _g dan terputus-putus pada p ∈_b. Ini perlu lebih lanjut elaborasi. Misalkan dua urutan harga yang baik menyatu dengan harga yang buruk, masing-masing, dan set anggaran yang sesuai konvergen ke ruang linear k-dimensi identik. Jelas, kelebihan permintaan yang sesuai harus bersatu dengan nilai yang sama. Karena itu, (C) Continuity: z terus menerus on_g, dan jika p → ¯p ∈_b, p_ → ¯p_ ∈_b dan lemas → ¯ pL (p) = limp_ → ¯p_ L (p_), kemudian lemas → ¯pz (p) = limp_ → ¯p_ z (p_).
Hasil
Momi (2003) [Hasil utama, hal. 242] membuktikan bahwa fungsi apa pun p → z (p) memuaskan (W) (H) (C) (fungsi kontinu apa pun) L → z (L) satisfying (W_)) dapat didekomposisi menjadi jumlah fungsi permintaan berlebih individu dari agen rasional pada setiap set harga yang baik kompak (set pun kompak set anggaran dengan harga yang baik).
Perhatikan bahwa hasilnya tidak mencirikan agregat fungsi permintaan berlebih di sekitar harga yang buruk. Hasil utama dari makalah ini adalah bahwa jika drop dimensi dari set anggaran adalah satu dimensi, maka kita dapat memperluas karakterisasi ke harga di sekitar harga yang buruk.
Teorema 1. Biarkan P ⊂ _menetapkan harga yang kompak sehingga dimensi L (p) adalah k atau k - 1 untuk p ∈ P. Untuk fungsi apa pun z: _g → RM satisfying (W) (H) (C) (BB), terdapat kumpulan konsumen yang terbatas {_i, ωi}i yang permintaan kelebihan agregat, ketika mereka memaksimalkan utilitas mereka tunduk pada permintaan bersih mereka di L (p) – RM +, adalah z (p) untuk p ∈ P_g.
Kita membutuhkan kondisi (BB) dalam teorema ini karena P _g, domain yang harus kitatangani, tidak selalu padat.
Teorema dapat diulang sebagai berikut.
Teorema 2. Biarkan P ⊂ _ menjadi harga yang kompak sehingga dimensi L (p) adalah k atau k - 1 untuk setiap p ∈ P. Untuk setiap kontinyu fungsi z: G ++ → RM satisfying (W_), ada kumpulan konsumen yang terbatas {_i, ωi} i yang permintaan kelebihan agregat, ketika mereka memaksimalkan utilitas mereka sesuai dengan permintaan bersih mereka di L – RM +, adalah z (L) untuk L ∈ L (P_g).
Teorema 3. Biarkan dimensi L (p) menjadi k atau k - 1 untuk p ∈_ apa pun. Biarkan z: G ++ → RM menjadi fungsi kontinu yang memuaskan (W _) (BB _) (BC_). Untuk setiap _> 0, terdapat _ _ _ _ _ _ _dan satu set konsumen yang terbatas {_i, ωi} i yang permintaan kelebihan agregat fungsi z ∗, ketika mereka memaksimalkan utilitas mereka tunduk pada tuntutan bersih mereka di L-RM +, memenuhi z ∗ | G_ = z | G_, Ez ∗ = Ez ⊂ G_,dan_Ml = 1z ∗l (L)> 0 untuk L ∈G ++ \ G_.
Bukti
Bukti Teorema 2
Buktinya adalah adaptasi dari Momi (2003). Biarkan menandakan koleksi set A ⊂ RM seperti itu (A1) A ditutup; (A2) jika x, x_ ∈ A, x / = x_, lalu rx + (1 - r) x_ ∈ IntA untuk 0 <r <1;
(A3) x + RM+ ⊂ A untuk x ∈ A; (A4) A ⊂ RM +; dan (A5) untuk setiap x ∈ ∂RM + \ 0, r ∈ R, limr → ∞d (A, rx) = 0,
di mana IntA menunjukkan interior A dan d (X, Y) = infx ∈ X, y ∈ Y || x - y || jarak antara himpunan bagian X dan Y dalam RM. Kurang lebih berbicara, A adalah satu set tertutup, cembung, positif dan tidak terbatas di atas yang batas asymptotically mendekati batas dari RM +.
Bukti Teorema 3
pada dasarnya sama dengan yang ada pada Mas-Colell (1997). Kami memperbaiki A0 ∈. Biarkan _ <cukup kecil seperti itu (L)> 0 dan (A0, L)> 0 untuk L ∈G ++ \ G_. Keberadaan seperti _ dipastikan oleh (BB _) (BC_) dari z dan (A1) - (A5) dari A0.
Kami menganggap subset kompak G_ / 2 di G ++ = L (_g) Gk ++ (RM). Dengan Lemma 3, ada himpunan terhubung yang terhubung Bj ⊂ Gk ++ (RM) dan Aj1,. . . , Ajık ∈ × · · ×, j = 1,. . . , m seperti itu (i) G_ / 2 ⊂ _ m j = 1Bj, (ii) 0 ∈ B (Aj1,..., Aj¯k, L) untuk L ∈ Bj dan (iii)
b (Aji, L) / ∈ L (¯p) ketika L = lemas → ¯p ∈_b L (p) dan L ∈ Bj. Perhatikan bahwa kemudian, karena (i) dan (ii), fungsi kontinu pada G_ / (L) = 0 ada di G ++ \ G_ dan Ez = Ez ∗ ⊂ G_.
Lampiran
Kami membuktikan beberapa hasil berkaitan dengan konvergensi anggaran yang ditetapkan di sekitar harga-harga penting.
Hasil 1. [Bottazzi and Hens (1996)] (i) Setiap ∈ L (p)
di mana _ = (_1,..., _S) memenuhi
V (p) = 0 dan t ∈ R. (ii) Jika ∈ L (p) ⊥, maka L () = L (p).
Lihat kertas untuk bukti. Secara khusus, perhatikan bahwa pernyataan itu benar terlepas dari apakah p adalah harga yang baik atau buruk. Untuk harga bagus p ∈_g, dimL (p) = M - (S - J) - 1, dan dimL (p) ⊥ = S - J + 1. Untuk harga yang buruk ¯p ∈_b sehingga rankV (p) = J_ <J,dimL (¯p) = M - (S - J_) - 1 dan dimL (¯p) ⊥ = S - J_ + 1. Perlu diingat bahwa M - (S - J) + 1-dimensi mengatur anggaran L dapat diidentifikasi oleh S-J + 1-dimensi subruang linear ortogonal L⊥ nya.
Hasil 2. Biarkan ¯ p ∈_b. Untuk setiap S-J + 1-dimensi linear subruang W sedemikian rupa sehingga ¯p ∈W ⊂ L (¯p) ⊥, terdapat urutan harga-harga bagus menyatu menjadi 1p yang set-set anggarannya bersesuaian dengan W⊥.
Bukti. Seperti disebutkan dalam Hasil 1 (i), setiap ∈ L (¯p) ⊥ ditulis sebagai = tdi mana _ = (_1,..., _S) memenuhi V (¯p) = 0 dan t ∈ R. Oleh karena itu, setiap S-J + 1-dimensi ruang linier W sedemikian rupa sehingga ¯ p ∈W ⊂ L (¯p) ⊥ didefinisikan sebagai ruang linear direntang oleh independen S - J + 1 vektor ¯ p dan k = 1,. . . , S - J, di mana setiap _k = (_k 1,. . . , _kS) memenuhi _kV (¯p) = 0.
Hasil 3. Biarkan ¯ p ∈_b. Untuk setiap S-J + 1-dimensi linear subruangWsuch thatW ⊂ L (¯p) ⊥, ada urutan yang baik harga konvergen ke harga yang buruk yang sesuai dengan set anggaran konvergen ke W.
Bukti. Pilih subruang linear S-J + 1-dimensi W di L (¯p) ⊥ dan setiap vektor harga ternormalisasi ˜p di W. Seperti disebutkan dalam Hasil 1 (ii), L (˜p) = L (¯p); karenanya, ˜p adalah harga yang buruk. Karena W adalah S-J + 1-dimensi linear subruang seperti ˜p ∈W ⊂ L (˜p) ⊥ = L (¯p) ⊥, ada urutan harga yang bagus yang set anggarannya sesuai konvergen ke W⊥ oleh Hasil 2. _
Hasil 4. Biarkan urutan harga yang bagus {pn} konvergen ke harga yang buruk ¯p, di mana rankV (¯p) = J_ ≤ J - 2 dan yang bersesuaian set anggaran konvergen ke ¯ L. Biarkan A ∈ menjadi satu set yang memuaskan (A1) - (A5) dalam Bagian 6. Ada urutan lain dari harga yang bagus menyatu dengan harga yang buruk yang set anggarannya bersesuaian dengan L_ berbeda dari ¯L dan b (A, L_) = b (A, ·L).
Bukti. Sebagaimana terbukti dalam Hasil 3, untuk setiap S-J + 1-dimensi ruang linier W di L (¯p) ⊥, ada urutan harga yang baik yang set anggarannya konvergen keW⊥. Kami ingin memilihWsuch bahwa (i) b (A, LL) ∈W⊥ dan (ii) a (A, LL) - b (A, L) ∈W. Itu terbukti bahwa jika (i) dan (ii) dipenuhi, maka b (A, W⊥) = b (A, ·L). Oleh karena itu, buktinya berakhir dengan menunjukkan bahwa pilihan kita tidak seperti itu unik.
Sonnenschein (1973), Mantel (1974) dan Debreu (1974) membuktikan bahwa fungsi permintaan berlebih agregat dalam ekonomi pertukaran Arrow-Debreu dicirikan pada setiap rangkaian harga yang kompak oleh kontinuitas, homogenitas, dan hukum Walras. Penelitian ini telah diperluas untuk model pasar yang tidak lengkap, dan hasil serupa telah diperoleh oleh Bottazziand Hens (1996), Gottardi dan Hens (1999), Chiappori dan Ekeland (1999, 2000), Gottardi dan Mas-Colell (2000) dan Momi(2003). Dalam makalah ini, karakterisasi fungsi permintaan kelebihan agregat diperoleh, paling banyak, pada satu set harga yang kompak di mana dimensi set anggaran adalah konstan.
Ketika kita membandingkan model Arrow-Debreu dan model pasar yang tidak lengkap, salah satu perbedaan yang paling menonjol adalah bahwa fungsi permintaan (kelebihan) dalam yang terakhir dapat terputus pada harga kritis di mana set anggaran menurun dimensinya. Diskontinuitas ini menyebabkan kesulitan besar dalam menghadapi model pasar yang tidak lengkap. Misalnya, seperti yang ditunjukkan dalam contoh Hart (1975), diskontinuitas ini mencegah keberadaan umum keseimbangan dalam model pasar yang tidak lengkap.
Meskipun himpunan harga-harga yang kritis dapat diabaikan dalam ukurannya dan tuntutan ekses luar biasa pada harga yang persis seperti itu mungkin sedikit diminati, perilaku fungsi permintaan berlebih agregat di sekitar harga-harga semacam itu akan layak dipertimbangkan. Kurangnya karakterisasi permintaan kelebihan agregat di sekitar harga kritis dalam model pasar yang tidak lengkap adalah, jelas, sebuah kelemahan dibandingkan dengan Teorema Sonnenschein-Mantel-Debreu dalam ekonomi Arrow-Debreu.
Tujuan dari makalah ini adalah untuk menyelidiki karakterisasi fungsi permintaan berlebih agregat di sekitar harga kritis. Kami membuktikan bahwa dalam ekonomi dengan pasar aset riil, pada setiap set harga yang kompak di mana penurunan dimensi anggaran yang ditetapkan paling banyak satu dimensi, kontinuitas, homogenitas, dan hukum Walras masih mencirikan fungsi permintaan berlebih agregat kecuali nilai-nilai terputus dengan harga kritis. Kami membuktikan hasilnya dengan memperluas argumen Momi (2003).
Sebagai aplikasi penting dari hasil, kami juga menunjukkan bahwa jika penurunan dimensi dari set anggaran paling banyak bersifat onedimensional pada seluruh harga yang ditetapkan, maka setiap set anggaran yang kompak dapat menjadi serangkaian set ekuilibrium anggaran yang tidak lengkap. ekonomi pasar. Ini sejajar dengan Mas-Colell (1997) yang memperhalus argumen Debreu (1974) dan membuktikan bahwa setiap set harga yang kompak bisa menjadi set harga ekuilibrium ekonomi Arrow – Debreu.
Jelas, kekurangan pendekatan kami adalah bahwa itu tidak dapat diterapkan ketika set anggaran menurunkan dimensinya lebih dari dua dimensi. Apakah kita dapat mengkarakterisasi fungsi permintaan berlebih agregat di sekitar harga kritis tersebut merupakan pertanyaan terbuka yang menarik di luar jangkauan kita. Memeriksa mengapa pendekatan kami tidak dapat diterapkan dalam kasus ini mungkin memberikan petunjuk untuk menangani masalah ini.
Bagian 2 menjelaskan model, yang merupakan model ekuilibrium umum standar dengan pasar aset riil yang tidak lengkap. Bagian 3 membahas kesulitan dalam menangani fungsi permintaan berlebih di sekitar harga-harga penting. Bagian 4 mengulas properti dari fungsi permintaan berlebih agregat dalam ekonomi pasar yang tidak lengkap yang dihuni oleh konsumen dengan preferensi standar pesanan. Bagian 5 menunjukkan hasil kami: karakterisasi fungsi permintaan berlebih agregat dan anggaran ekuilibrium mengatur karakterisasi. Bukti hasil disediakan dalam Bagian 6.
Modelnya
Kami mempertimbangkan pertukaran ekonomi dua periode standar dengan pasar aset riil yang tidak lengkap. Ada negara-negara S mungkin pada periode kedua dan N barang di setiap negara bagian, sehingga RM, di mana M = (S + 1) N dengan periode pertama sebagai negara 0, mewakili ruang total komoditas. Ada J (≤ S) aset riil Vj, j = 1,. . . , J, masing-masing menjanjikan pengiriman satu bundle komoditas VJs = (Vjs1,. . . , Vj sN) jika keadaan s ∈ {1,. . . , S} terjadi pada periode kedua. Set anggaran, yang kelebihan permintaan vektor z = (z0,..., zS) ∈ RM harus memuaskan.
Konvergensi anggaran ditetapkan di sekitar harga kritis
Pada bagian ini, kami membahas kesulitan dalam menangani fungsi permintaan berlebih di sekitar harga-harga penting. Biarkan dua urutan harga yang bagus {} dan {} konvergen ke harga bagus p ∈_g: {} → p dan {} → p sebagai n → ∞. Kemudian, set anggaran yang sesuai L {} dan L dengan jelas menyatu dengan set anggaran L (). Yaitu, fungsi p → L ). kontinu dengan harga bagus. Jika (). Dan (). berada di lingkungan dengan harga yang bagus, maka L (). dan L (). berada di lingkungan L(). . Kemudian, pendekatan Bottazzi dan Hens (1996) atau Chiappori dan Ekeland (1999) dapat diterapkan untuk mencapai local karakterisasi fungsi permintaan berlebih di sekitar harga bagus p.
Namun, situasinya sangat berbeda ketika{} dan{} konvergen ke harga yang buruk ¯p ∈_b.Bila mereka bertemu dengan yang buruk harga, harga, tentu saja, bertemu satu sama lain. Namun, set anggaran yang sesuai tidak bertemu satu sama lain.
Oleh karena itu, masalahnya bukan "lokal". Pada bagian ini, kami mengamati ini menggunakan contoh sederhana. Lihat Lampiran A untuk umum argumen. Kami mempertimbangkan contoh paling sederhana dengan tiga negara masa depan (S = 3), dua aset (J = 2) dengan hasil positif, dan dua komoditas (N = 2).
Properti dari fungsi permintaan berlebih
Pada bagian ini, kita daftar properti dari fungsi permintaan berlebih agregat p → z (p) ≡ _izi (p) ketika semua konsumen memaksimalkan utilitas mereka tunduk pada perdagangan bersih mereka di L (p). Ini terbukti dari definisi yang agregat berlebih fungsi permintaan memenuhi hukum Walra, homogenitas, dan batasan dari bawah:
(W) Hukum Walras: z (p) ∈ L (p),
(H) Homogenitas: z (p) = z (p_) jika L (p) = L (p_),
(BB) Boundedness dari bawah: ada ˛∈ R sehingga z (p)> ˛1
di mana 1 = (1,...., 1) ∈ RM.
Berkenaan dengan kontinuitas, diketahui bahwa z kontinu pada _g dan terputus-putus pada p ∈_b. Ini perlu lebih lanjut elaborasi. Misalkan dua urutan harga yang baik menyatu dengan harga yang buruk, masing-masing, dan set anggaran yang sesuai konvergen ke ruang linear k-dimensi identik. Jelas, kelebihan permintaan yang sesuai harus bersatu dengan nilai yang sama. Karena itu, (C) Continuity: z terus menerus on_g, dan jika p → ¯p ∈_b, p_ → ¯p_ ∈_b dan lemas → ¯ pL (p) = limp_ → ¯p_ L (p_), kemudian lemas → ¯pz (p) = limp_ → ¯p_ z (p_).
Hasil
Momi (2003) [Hasil utama, hal. 242] membuktikan bahwa fungsi apa pun p → z (p) memuaskan (W) (H) (C) (fungsi kontinu apa pun) L → z (L) satisfying (W_)) dapat didekomposisi menjadi jumlah fungsi permintaan berlebih individu dari agen rasional pada setiap set harga yang baik kompak (set pun kompak set anggaran dengan harga yang baik).
Perhatikan bahwa hasilnya tidak mencirikan agregat fungsi permintaan berlebih di sekitar harga yang buruk. Hasil utama dari makalah ini adalah bahwa jika drop dimensi dari set anggaran adalah satu dimensi, maka kita dapat memperluas karakterisasi ke harga di sekitar harga yang buruk.
Teorema 1. Biarkan P ⊂ _menetapkan harga yang kompak sehingga dimensi L (p) adalah k atau k - 1 untuk p ∈ P. Untuk fungsi apa pun z: _g → RM satisfying (W) (H) (C) (BB), terdapat kumpulan konsumen yang terbatas {_i, ωi}i yang permintaan kelebihan agregat, ketika mereka memaksimalkan utilitas mereka tunduk pada permintaan bersih mereka di L (p) – RM +, adalah z (p) untuk p ∈ P_g.
Kita membutuhkan kondisi (BB) dalam teorema ini karena P _g, domain yang harus kitatangani, tidak selalu padat.
Teorema dapat diulang sebagai berikut.
Teorema 2. Biarkan P ⊂ _ menjadi harga yang kompak sehingga dimensi L (p) adalah k atau k - 1 untuk setiap p ∈ P. Untuk setiap kontinyu fungsi z: G ++ → RM satisfying (W_), ada kumpulan konsumen yang terbatas {_i, ωi} i yang permintaan kelebihan agregat, ketika mereka memaksimalkan utilitas mereka sesuai dengan permintaan bersih mereka di L – RM +, adalah z (L) untuk L ∈ L (P_g).
Teorema 3. Biarkan dimensi L (p) menjadi k atau k - 1 untuk p ∈_ apa pun. Biarkan z: G ++ → RM menjadi fungsi kontinu yang memuaskan (W _) (BB _) (BC_). Untuk setiap _> 0, terdapat _ _ _ _ _ _ _dan satu set konsumen yang terbatas {_i, ωi} i yang permintaan kelebihan agregat fungsi z ∗, ketika mereka memaksimalkan utilitas mereka tunduk pada tuntutan bersih mereka di L-RM +, memenuhi z ∗ | G_ = z | G_, Ez ∗ = Ez ⊂ G_,dan_Ml = 1z ∗l (L)> 0 untuk L ∈G ++ \ G_.
Bukti
Bukti Teorema 2
Buktinya adalah adaptasi dari Momi (2003). Biarkan menandakan koleksi set A ⊂ RM seperti itu (A1) A ditutup; (A2) jika x, x_ ∈ A, x / = x_, lalu rx + (1 - r) x_ ∈ IntA untuk 0 <r <1;
(A3) x + RM+ ⊂ A untuk x ∈ A; (A4) A ⊂ RM +; dan (A5) untuk setiap x ∈ ∂RM + \ 0, r ∈ R, limr → ∞d (A, rx) = 0,
di mana IntA menunjukkan interior A dan d (X, Y) = infx ∈ X, y ∈ Y || x - y || jarak antara himpunan bagian X dan Y dalam RM. Kurang lebih berbicara, A adalah satu set tertutup, cembung, positif dan tidak terbatas di atas yang batas asymptotically mendekati batas dari RM +.
Bukti Teorema 3
pada dasarnya sama dengan yang ada pada Mas-Colell (1997). Kami memperbaiki A0 ∈. Biarkan _ <cukup kecil seperti itu (L)> 0 dan (A0, L)> 0 untuk L ∈G ++ \ G_. Keberadaan seperti _ dipastikan oleh (BB _) (BC_) dari z dan (A1) - (A5) dari A0.
Kami menganggap subset kompak G_ / 2 di G ++ = L (_g) Gk ++ (RM). Dengan Lemma 3, ada himpunan terhubung yang terhubung Bj ⊂ Gk ++ (RM) dan Aj1,. . . , Ajık ∈ × · · ×, j = 1,. . . , m seperti itu (i) G_ / 2 ⊂ _ m j = 1Bj, (ii) 0 ∈ B (Aj1,..., Aj¯k, L) untuk L ∈ Bj dan (iii)
b (Aji, L) / ∈ L (¯p) ketika L = lemas → ¯p ∈_b L (p) dan L ∈ Bj. Perhatikan bahwa kemudian, karena (i) dan (ii), fungsi kontinu pada G_ / (L) = 0 ada di G ++ \ G_ dan Ez = Ez ∗ ⊂ G_.
Lampiran
Kami membuktikan beberapa hasil berkaitan dengan konvergensi anggaran yang ditetapkan di sekitar harga-harga penting.
Hasil 1. [Bottazzi and Hens (1996)] (i) Setiap ∈ L (p)
di mana _ = (_1,..., _S) memenuhi
V (p) = 0 dan t ∈ R. (ii) Jika ∈ L (p) ⊥, maka L () = L (p).
Lihat kertas untuk bukti. Secara khusus, perhatikan bahwa pernyataan itu benar terlepas dari apakah p adalah harga yang baik atau buruk. Untuk harga bagus p ∈_g, dimL (p) = M - (S - J) - 1, dan dimL (p) ⊥ = S - J + 1. Untuk harga yang buruk ¯p ∈_b sehingga rankV (p) = J_ <J,dimL (¯p) = M - (S - J_) - 1 dan dimL (¯p) ⊥ = S - J_ + 1. Perlu diingat bahwa M - (S - J) + 1-dimensi mengatur anggaran L dapat diidentifikasi oleh S-J + 1-dimensi subruang linear ortogonal L⊥ nya.
Hasil 2. Biarkan ¯ p ∈_b. Untuk setiap S-J + 1-dimensi linear subruang W sedemikian rupa sehingga ¯p ∈W ⊂ L (¯p) ⊥, terdapat urutan harga-harga bagus menyatu menjadi 1p yang set-set anggarannya bersesuaian dengan W⊥.
Bukti. Seperti disebutkan dalam Hasil 1 (i), setiap ∈ L (¯p) ⊥ ditulis sebagai = tdi mana _ = (_1,..., _S) memenuhi V (¯p) = 0 dan t ∈ R. Oleh karena itu, setiap S-J + 1-dimensi ruang linier W sedemikian rupa sehingga ¯ p ∈W ⊂ L (¯p) ⊥ didefinisikan sebagai ruang linear direntang oleh independen S - J + 1 vektor ¯ p dan k = 1,. . . , S - J, di mana setiap _k = (_k 1,. . . , _kS) memenuhi _kV (¯p) = 0.
Hasil 3. Biarkan ¯ p ∈_b. Untuk setiap S-J + 1-dimensi linear subruangWsuch thatW ⊂ L (¯p) ⊥, ada urutan yang baik harga konvergen ke harga yang buruk yang sesuai dengan set anggaran konvergen ke W.
Bukti. Pilih subruang linear S-J + 1-dimensi W di L (¯p) ⊥ dan setiap vektor harga ternormalisasi ˜p di W. Seperti disebutkan dalam Hasil 1 (ii), L (˜p) = L (¯p); karenanya, ˜p adalah harga yang buruk. Karena W adalah S-J + 1-dimensi linear subruang seperti ˜p ∈W ⊂ L (˜p) ⊥ = L (¯p) ⊥, ada urutan harga yang bagus yang set anggarannya sesuai konvergen ke W⊥ oleh Hasil 2. _
Hasil 4. Biarkan urutan harga yang bagus {pn} konvergen ke harga yang buruk ¯p, di mana rankV (¯p) = J_ ≤ J - 2 dan yang bersesuaian set anggaran konvergen ke ¯ L. Biarkan A ∈ menjadi satu set yang memuaskan (A1) - (A5) dalam Bagian 6. Ada urutan lain dari harga yang bagus menyatu dengan harga yang buruk yang set anggarannya bersesuaian dengan L_ berbeda dari ¯L dan b (A, L_) = b (A, ·L).
Bukti. Sebagaimana terbukti dalam Hasil 3, untuk setiap S-J + 1-dimensi ruang linier W di L (¯p) ⊥, ada urutan harga yang baik yang set anggarannya konvergen keW⊥. Kami ingin memilihWsuch bahwa (i) b (A, LL) ∈W⊥ dan (ii) a (A, LL) - b (A, L) ∈W. Itu terbukti bahwa jika (i) dan (ii) dipenuhi, maka b (A, W⊥) = b (A, ·L). Oleh karena itu, buktinya berakhir dengan menunjukkan bahwa pilihan kita tidak seperti itu unik.
Komentar
Posting Komentar